Simulacro Saber 11 - Expresiones algebraicas

Introducción

Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables y operaciones aritméticas.
Por ejemplo, términos como 3x3x, 4y24y^2 o constantes como 55 pueden formar expresiones más complejas mediante sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces.
El estudio de las expresiones algebraicas es fundamental para comprender ecuaciones, inecuaciones y la relación entre variables.
Las habilidades de álgebra resultan muy útiles en distintos contextos, desde resolver situaciones cotidianas hasta exámenes académicos.
Saber 11 contribuye a medir la capacidad de los estudiantes para manejar estas expresiones de manera práctica.
El ICFES Saber 11 evalúa, entre otras competencias, la capacidad de factorizar, simplificar e interpretar expresiones algebraicas.
El Examen Saber 11 también explora la destreza al resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, sistemas de ecuaciones y en la manipulación de términos semejantes.
Para la Preparación Saber 11 es aconsejable repasar las propiedades de la suma, resta, multiplicación y factorización de expresiones, ya que estos temas aparecen regularmente en la prueba.
A continuación, encontrarás un repaso detallado de los puntos clave de las expresiones algebraicas.
Este tutorial incluye la teoría esencial y ejemplos que te ayudarán a comprender y a resolver ejercicios como los que se han planteado en diferentes niveles de dificultad (fácil, medio y difícil).

Suma y resta de términos semejantes

Concepto básico

Dos términos se consideran semejantes cuando comparten la misma parte literal, es decir, la misma variable con el mismo exponente.
Para sumar o restar estos términos, basta con sumar o restar sus coeficientes.
Ejemplo:
3x+6x−4=9x−4 3x + 6x - 4 = 9x - 4.
Aquí, 3x y 6x son términos semejantes (x con exponente 1).
Se suman para obtener 9x.
Luego, el término constante −4 permanece igual.

Casos frecuentes a repasar:

(2x+3)+(x−1)=3x+2 (2x + 3) + (x - 1) = 3x + 2.
6x−(2x−3)=6x−2x+3=4x+3 6x - (2x - 3) = 6x - 2x + 3 = 4x + 3.
5x−x+8=4x+8 5x - x + 8 = 4x + 8.
3x+2x−5=5x−5 3x + 2x - 5 = 5x - 5.

Multiplicación de binomios (Expansión)

Propiedad distributiva

Para multiplicar dos expresiones, se aplica la distributividad: cada término de la primera expresión se multiplica por cada término de la segunda.
Esto es especialmente común al multiplicar binomios.
Ejemplo general:
(a+b)(c+d)=a⋅c+a⋅d+b⋅c+b⋅d (a + b)(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d.

Aplicaciones comunes:

(x+2)(x+5)=x²+7x+10 (x + 2)(x + 5) = x^2 + 7x + 10.
(2x+1)(x−1)=2x²−x−1 (2x + 1)(x - 1) = 2x^2 - x - 1.
(x+3)(x+2)=x²+5x+6 (x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6.
(2x−3)(x+1)=2x²−x−3 (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 - x - 3.
Cuando expandes, recuerda agrupar términos semejantes para simplificar el resultado.

Factorización de expresiones

La factorización consiste en expresar una expresión algebraica como un producto de dos o más factores.
Varias estrategias son útiles, dependiendo del tipo de expresión:

Factor común

Busca el mayor factor común entre todos los términos y extráelo:
(x³−x)/x = x(x²−1)/x = x²−1 (una vez simplificado el factor común x del numerador y el denominador).

Trinomio cuadrado perfecto

Ciertos trinomios pueden reconocerse como el cuadrado de un binomio:
4x²+4x+1=(2x+1)².

Trinomio cuadrático

Para factorizar un trinomio general x²+bx+c, se buscan dos números que multipliquen c y sumen b.
Ejemplo: x²−5x+6 se factoriza como (x−2)(x−3).

Diferencia de cuadrados

Cuando un término al cuadrado se resta de otro término al cuadrado:
a²−b²=(a−b)(a+b).
Ejemplos:
x²−81=(x−9)(x+9).
x²−4=(x−2)(x+2).
x²−9=(x−3)(x+3).

Denominadores factorizables

También se factoriza para simplificar fracciones:
(x²−4)/(x²−x−12) = (x−2)(x+2)/(x−4)(x+3).
No siempre habrá cancelaciones, pero factorizar el denominador permite identificar restricciones y posibles simplificaciones.

Evaluación de expresiones

Para evaluar una expresión, se sustituye la variable por un valor numérico y se efectúan las operaciones:
Ejemplo 1:
5x−3 para x=4: 5(4)−3=20−3=17.

Ejemplo 2:
2x²−x+1 para x=3: 2(3²)−3+1=18−3+1=16.

Ejemplo 3:
3xy para x=2 y y=4: 3×2×4=24.

Ecuaciones lineales y sistemas

Ecuaciones lineales

Resolver una ecuación lineal involucra aislar la variable mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones:
2x−1=5 → 2x=6 → x=3.
2x+3=11 → 2x=8 → x=4.
x/2=4 → x=8.
3(x−2)−5=4x+1 → 3x−11=4x+1 → −x=12 → x=−12.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema lineal consiste en dos o más ecuaciones.
Puede resolverse por sustitución, igualación o eliminación.
Ejemplo:
{x+y=5, 2x−y=1} → y=5−x → 2x−(5−x)=1 → 3x=6 → x=2 → y=3.
Solución: (2, 3).

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática tiene la forma ax²+bx+c=0.
Para resolverla, pueden emplearse factorizar (si es posible) o la fórmula general x= (−b±√(b²−4ac))/(2a).
Ejemplo: x²−5x+6=0 → (x−2)(x−3)=0 → x=2 o x=3.

Inecuaciones

Las inecuaciones siguen reglas similares a las ecuaciones, excepto que al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte la desigualdad.
Ejemplo: 2x+1>7 ⇒ 2x>6 ⇒ x>3.

Expresiones radicales y su dominio

Ecuaciones con raíz

Para resolver ecuaciones con raíz, se cuadran ambos lados con cuidado y luego se verifica si la solución pertenece al dominio.
Ejemplo: √(x+1)=x−1 requiere x≥1.
Al cuadrar: x+1=(x−1)² → x²−3x=0 → x(x−3)=0 → x=0 o x=3.
Solo x=3 cumple x≥1.

Despeje en fracciones simples

Cuando la variable está en el denominador, se multiplica para aislarla:
2/(x−1)=1 → 2=x−1 → x=3.

Pendiente de una recta

La pendiente m de la recta que pasa por (x₁,y₁) y (x₂,y₂) es m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁).
Ejemplo con (2, 3) y (4, 7): m=(7−3)/(4−2)=4/2=2.

Conclusión

El dominio de las expresiones algebraicas, la suma y resta de términos semejantes, la factorización, la expansión de binomios y la resolución de ecuaciones (lineales, cuadráticas, inecuaciones o con radicales) permiten enfrentarse con éxito a múltiples ejercicios.
Además, la habilidad para entender sistemas de ecuaciones e interpretar pendientes de rectas es esencial en geometría analítica.
Repasar y practicar cada una de estas áreas asegura un mejor rendimiento en las pruebas de álgebra y fortalece la comprensión matemática en general.
Con esta base, podrás abordar con seguridad cualquier examen o evaluación que involucre expresiones algebraicas.