Simulacro Saber 11 - Relaciones lineales, afines y razones de cambio

Definiciones básicas

Función lineal
Una función lineal se expresa de la forma y = mx.
Específicamente, pasa por el origen (0, 0) y su pendiente es m.
Cuando x aumenta en 1 unidad, y se incrementa en m.

Función afín
Se describe como y = mx + b.
A diferencia de la función lineal pura, incluye un término constante b, que indica la intersección con el eje y.
Si b ≠ 0, la gráfica no pasa por el origen.

Pendiente (razón de cambio)
Mide cuántas unidades varía y al aumentar x en una unidad.
Se interpreta como la inclinación de la recta.
En contextos como la física, es la velocidad constante; en finanzas, es la tasa de crecimiento.

Intersección con el eje y
Es el valor b cuando x = 0.
Geométricamente, es el punto donde la recta corta el eje vertical.

Ecuaciones de la recta

Existen varias formas de describir una recta:

Forma pendiente-intersección (y = mx + b)
m es la pendiente.
b es la intersección con el eje y.
Es la más utilizada cuando se quiere conocer con rapidez la pendiente y el punto donde la recta se cruza con y.

Forma punto-pendiente (y − y₁ = m(x − x₁))
Útil para trazar la recta si se conoce un punto (x₁, y₁) y la pendiente m.
Al simplificar, se puede obtener la forma y = mx + b.

Forma general (Ax + By + C = 0)
Común en algunos contextos, aunque menos práctica para leer la pendiente directamente.
Se puede convertir a la forma pendiente-intersección siempre que B ≠ 0.
Para resolver ejercicios típicos en un Examen Saber 11, conviene dominar al menos la forma pendiente-intersección y la punto-pendiente.

Cálculo de la pendiente a partir de dos puntos

Si la recta pasa por (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la pendiente m se determina con:
m = (y₂ − y₁) ⁄ (x₂ − x₁).
Con solo dos puntos, se puede definir la recta y, por ende, su pendiente.
Este procedimiento es muy usado en la Preparación Saber 11 para problemas que proporcionan pares de datos.

Interpretación de la pendiente en situaciones reales

La pendiente representa cuán rápido cambia y en relación a x.
Ejemplos:

Velocidad promedio
Si un vehículo recorre Δy kilómetros en Δx horas, la pendiente Δy ⁄ Δx es la velocidad km/h.
Una pendiente positiva indica aumento de posición; la negativa mostraría desplazamiento en sentido opuesto.

Costo por unidad
Cuando se fabrica un bien, una recta C(x) = mx + b puede modelar el costo total de producción.
m se interpreta como el costo variable por unidad producida y b como el costo fijo.

Temperaturas
La conversión Celsius-Fahrenheit es lineal: F = (9 ⁄ 5)C + 32.
9 ⁄ 5 es la razón de cambio que relaciona los incrementos en Celsius con cambios en Fahrenheit.
En un Examen Saber 11, un enunciado típico podría presentarte un conjunto de datos de costos y unidades, y pedir la pendiente como costo adicional por cada unidad fabricada.

Razón de cambio y su aplicación

La razón de cambio media entre dos instantes x₁ y x₂ se define como:
Δy ⁄ Δx = (y(x₂) − y(x₁)) ⁄ (x₂ − x₁).
Si la relación es lineal, la razón de cambio es constante.
Así, no importa qué dos puntos se tomen, el cociente será el mismo.

Desplazamientos verticales y horizontales

Desplazamiento vertical (b)
Al variar b sin cambiar m, la recta se mueve arriba o abajo.
La inclinación no cambia.

Desplazamiento horizontal
Para la forma y = m(x − h) + k, si se aumenta h, la recta se traslada.
Manejar traslaciones es importante para interpretar funciones lineales que se ajustan a condiciones como “pasa por el punto (h, k)”.

Funciones afines vs. funciones lineales puras

Función lineal pura
Pasa por (0, 0), con ecuación y = mx.

Función afín
Tiene la forma y = mx + b.
Si b ≠ 0, no pasa por el origen y se refiere a relaciones lineales que incluyen un término constante distinto de cero.
Muchas veces, la Preparación Saber 11 presenta casos de funciones afines: por ejemplo, un costo fijo (b) más un costo variable (mx).

Ejemplo práctico

Se tiene un móvil que recorre 60 km en 2 horas con velocidad constante.
Pendiente o razón de cambio: 60 ⁄ 2 = 30 km/h.
Ecuación si parte del origen: d(t) = 30t, donde d es la distancia y t el tiempo.
Interpretación: cada hora, avanza 30 km.
A la tercera hora, habrá recorrido 90 km.
Este tipo de problema aparece con frecuencia.
En el ICFES Saber 11 se requiere resolverlo de forma rápida y coherente.

Consejos para resolver ejercicios de relaciones lineales

Identifica la variable independiente (x) y la dependiente (y): a menudo, x es el tiempo o la cantidad de un producto, mientras y es la posición o el costo, respectivamente.
Reconoce puntos clave: si hay un punto donde la función empieza (por ejemplo, (0, b)) y otro conocido (x₁, y₁), utiliza la fórmula de la pendiente o la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación.
Cerciórate de los signos: si la relación implica descenso, la pendiente será negativa.
Verifica con ejemplos: al terminar, revisa un valor de x y comprueba si y coincide con la descripción del problema.

Conclusión

Las relaciones lineales y afines constituyen la base de muchas aplicaciones prácticas: velocidad constante, facturas con cargos fijos más variables, conversiones de unidades, etc.
El dominio de la notación y las ecuaciones correspondientes —incluida la interpretación de la pendiente y el término constante— es fundamental para resolver con éxito los problemas.
Una buena Preparación Saber 11 incluye ejercicios con múltiples escenarios, lo que facilita la comprensión y fortifica la agilidad al reconocer de manera inmediata las relaciones lineales y afines en las preguntas propuestas.
Con esto, se cubren los puntos clave para abordar ejercicios que involucran ecuaciones de la recta, pendientes, interceptos y razones de cambio en un contexto lineal.
¡A ponerlo en práctica!