Simulacro Saber 11 - Combinaciones y Permutaciones

Las combinaciones y las permutaciones son técnicas de conteo fundamentales para resolver problemas de selección y ordenación.
El principio básico establece que si un proceso tiene varias etapas, el número total de resultados es el producto de las posibilidades de cada etapa.
Las permutaciones se utilizan cuando el orden importa, calculándose con factoriales y derivaciones parciales.
Las combinaciones aplican cuando el orden no importa, usando coeficientes binomiales.
Además, en disposiciones circulares se ajusta el conteo con (n−1)! al considerar rotaciones equivalentes.
Para casos donde ningún elemento retorne a su posición original, se aplican los derangements o subfactoriales.
Comprender cuándo aplicar cada fórmula y si el orden influye es esencial para abordar ejercicios complejos y simulacros de exámenes como el Saber 11.

Introducción al Principio Fundamental de Conteo

Antes de profundizar en combinaciones y permutaciones, conviene recordar un concepto base: el principio fundamental de conteo.
Si realizamos un proceso en etapas, de modo que:
La primera etapa se puede ejecutar de mm formas.
La segunda etapa se puede ejecutar de nn formas.
Entonces, el número total de maneras de llevar a cabo ambas etapas, de manera consecutiva, es m×n
Este principio se extiende a más etapas, multiplicando las posibilidades de cada etapa.
Ejemplo sencillo: Si una pizzería ofrece 3 tipos de masa y 4 tipos de ingrediente principal, el número de pizzas distintas (eligiendo exactamente 1 tipo de masa y 1 ingrediente) es 3×4=12 formas.

Permutaciones

Una permutación es una forma de ordenar o disponer elementos donde el orden sí importa.
A menudo, se distinguen dos casos principales:
Permutaciones de todos los elementos: Si se tienen nn objetos y se desea disponerlos todos en fila, hay n! maneras de hacerlo.
Ejemplo: Para alinear 4 libros en 4 espacios, se aplica 4!=24.
Permutaciones de una parte de los elementos (Permutaciones Parciales): Si se tienen nn objetos y se quiere formar una fila de solo kk de ellos (con k≤n), el número de maneras de hacerlo es:
P(n,k)=n!/(n−k)! = n × (n-1) × (n-2) × ⋯ × (n-k+1).
Ejemplo: Para acomodar 3 personas en 5 asientos (usando exactamente 3 de ellos), la cantidad de formas es P(5,3)=5×4×3=60.
Permutaciones Circulares: Cuando se sientan nn personas alrededor de una mesa redonda y las rotaciones se consideran la misma disposición, se emplea (n−1)!.
Esto se debe a que, en una mesa redonda, si todos se mueven un puesto a la derecha, ese arreglo se considera idéntico al anterior (la rotación no genera un cambio “real”).
Si, además, las reflexiones se consideran iguales (invertir la mesa no genera una disposición distinta), normalmente se usaría (n−1)!/2.
Si las reflexiones sí se cuentan como distintas, el resultado es (n−1)!.
Hay que leer cuidadosamente el enunciado para determinar qué cuenta como un arreglo nuevo.
Ejemplo: Para sentar 6 personas en una mesa circular, considerando las rotaciones como el mismo arreglo pero sin identificar reflexiones, el recuento sería (6−1)! = 5! = 120.

Combinaciones

Las combinaciones se usan cuando el orden no importa.
Si se tienen nn elementos y se quiere seleccionar kk de ellos, la cantidad de formas de elegirlos (sin importar el orden) se representa con la notación C(n,k), y se calcula como:
C(n,k) = n!/(k! (n-k)!).
Ejemplo 1: Escoger 2 representantes de un grupo de 5 (sin importarnos quién se escogió primero). Se usa C(5,2)=5!/(2! (5−2)!) = 5×4/(2×1) = 10.
Ejemplo 2: Seleccionar 3 jugadores en un equipo de 7. C(7,3)=7!/(3! 4!) = 35.

Problemas Mixtos o Compuestos

En muchos ejercicios, aparecen varios pasos de selección consecutivos.
Se suele resolver empleando el principio de multiplicación.
Por ejemplo:
Eliges un subconjunto de personas (con combinaciones si no importa el orden, o con permutaciones si importan los roles).
Con ese grupo seleccionado, tomas otra decisión (ya sea otra combinación o un nombramiento adicional).
Ejemplo: Se eligen 3 personas de 10 para un equipo principal y, de las 7 restantes, 2 para un equipo secundario.
Paso 1: C(10,3) para el equipo principal.
Paso 2: C(7,2) para el secundario.
Total de maneras: C(10,3)×C(7,2)=120×21=2520.
Un detalle clave es determinar si los dos equipos (o conjuntos) son distintos o no.
Si el enunciado resalta que los equipos tienen una etiqueta o rol diferente (Grupo A y Grupo B, o Premio X y Premio Y), entonces cada elección se multiplica sin dividir nada adicional.
En cambio, si los equipos no tuvieran distinciones y fueran intercambiables, sería necesario ajustar el conteo para no duplicar.

Derangements (Subfactoriales)

Un derangement o subfactorial surge cuando queremos permutar nn objetos de modo que ningún elemento quede en la posición original.
Suelen denotarse como !n o D_n.
La fórmula exacta para el número de derangements de nn objetos es: n! (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ⋯ + (-1)^n/n!).
También suele usarse una aproximación: n!/e.
Cuando te encuentras un problema donde se exige que ninguno de los objetos quede en su lugar original, se trata de un derangement.
Por ejemplo, para 6 elementos, !6 = 265.
Este tipo de situaciones puede aparecer en preguntas de acomodación de dígitos, letras o personas con la restricción de que no ocupen su posición inicial.

Ejemplos Prácticos para Resolver Ejercicios de Selección y Orden

Escoger un comité: Si se eligen 4 estudiantes de 8 para formar un comité sin que el orden importe, se usa C(8,4)=70.
Asignar premios diferentes: Para nombrar un presidente y vicepresidente en un grupo de 6, se aplican permutaciones parciales: P(6,2)=6×5=30.
Alinear libros: Para acomodar 5 libros en 5 espacios, se usan permutaciones completas: 5!=120.
Elegir 2 camisetas de 6 (sin orden): C(6,2)=15.
Construir contraseñas de 2 dígitos sin repetir en el candado (del 0 al 9): Se tienen 10 opciones para el primer dígito y 9 para el segundo, total 10×9=90.
Estos ejemplos abarcan las ideas clave de la mayoría de problemas:
Cuando el orden importa → Permutaciones.
Cuando el orden no importa → Combinaciones.
Cuando hay varios pasos → Multiplicas los resultados de cada paso.
Cuando hay restricciones (ej. no repetir posiciones) → Considerar derangements o simplemente restar casos que no cumplen.
Cuando se otorgan roles distintos → Usar permutaciones, pues cada rol define una disposición diferente.

Tips de Resolución y Precauciones Comunes

Identificar si el orden importa: Verifica si, por ejemplo, el enunciado habla de “comité” (sin roles) o de “presidente y vicepresidente” (con roles).
Revisar si sobran elementos: A veces se utilizan nn elementos para rellenar solo kk posiciones.
Ahí entran las permutaciones parciales P(n,k) o las combinaciones C(n,k).
Circular vs. lineal: En problemas de sillas dispuestas en un círculo, atención a la cuenta de (n−1)! y si se debe dividir por 2 cuando las reflexiones se consideren idénticas.
Equipos o subgrupos con etiquetas: Si el enunciado distingue un “Grupo A” y un “Grupo B”, no dividas más.
Si son indistinguibles, la cosa cambia.
Corrección por casos imposibles: En ejercicios tipo “descolocaciones”, se usan fórmulas específicas (subfactoriales), o se combinan con combinaciones y permutaciones restando configuraciones no deseadas.

Conexión con Evaluaciones Importantes

Los temas de combinaciones y permutaciones también aparecen en las guías de ICFES Saber 11.
Cada vez que practiques, asegúrate de cubrir los distintos tipos de ejercicios: desde los más básicos (seleccionar un grupo sin orden) hasta los más complejos (varias etapas de selección y asignación de roles).
Es habitual que, para reforzar tu práctica, busques problemas donde se mezclen combinaciones y permutaciones.
Puedes encontrar este tipo de situaciones en tu rutina de estudio para la Preparación Saber 11.
El entendimiento profundo de estos conceptos, sumado a ejemplos concretos, te preparará muy bien para afrontar distintos cuestionarios de nivel medio o avanzado.
Ten en cuenta que estos tópicos no solo son relevantes en tu formación académica formal, sino que también aparecen en muchos contextos cotidianos y pruebas de ingreso, tal como ocurre con el Examen Saber 11.
Mantén una buena base teórica y practica con ejercicios de complejidad creciente.

Conclusión

Las combinaciones y permutaciones son herramientas esenciales para resolver problemas de conteo.
Diferenciar entre situaciones en las que el orden importa (permutaciones) y en las que no (combinaciones) es la clave para aplicar las fórmulas de manera precisa.
Además, la experiencia indica que es importante reconocer casos especiales como permutaciones circulares, derangements y distribuciones en grupos etiquetados o no.
Con esta guía, dispones de las bases necesarias para enfrentar situaciones diversas: desde seleccionar comités hasta ordenar dígitos en contraseñas.
Esperamos que te sirva de apoyo en tu camino académico y te permita resolver cualquier ejercicio relacionado con combinaciones y permutaciones.
¡Éxitos en tu estudio y práctica!