Introducción

La geometría analítica es una rama esencial de las matemáticas que relaciona el álgebra con la geometría.
A través de los sistemas de coordenadas, podemos representar puntos, líneas y figuras en distintos planos y en el espacio, lo que resulta clave para resolver problemas de la vida real y de exámenes académicos.
El Saber 11 requiere un entendimiento profundo de estos conceptos para responder con éxito las preguntas de geometría.
El ICFES Saber 11 normalmente incluye ejercicios donde se deben identificar cuadrantes, hallar distancias entre puntos, calcular la magnitud de vectores y realizar conversiones entre coordenadas cartesianas y polares.
Esto no solo evidencia la importancia teórica de la geometría analítica, sino también su aplicación práctica en el análisis de problemas.
Para destacar en el Examen Saber 11, es crucial dominar estos fundamentos y practicar con diferentes tipos de ejercicios que exploran la interpretación de puntos en 2D y 3D, las transformaciones geométricas y las propiedades de las figuras.
La Preparación Saber 11 involucra estudiar estos sistemas y familiarizarse con los cálculos básicos, como determinar el cuadrante correcto, usar la distancia euclidiana y aplicar fórmulas de coordenadas polares y tridimensionales.
A continuación, encontrarás un tutorial detallado que explica paso a paso los sistemas de coordenadas cartesianas en 2D, coordenadas polares y coordenadas en el espacio tridimensional, así como algunas transformaciones geométricas habituales.
Este contenido te servirá para abordar con confianza cualquier problema relacionado con este tema.

Sistema de coordenadas cartesianas en 2D

En el plano cartesiano, cada punto se describe por un par ordenado (x, y).
A continuación, revisamos las ideas fundamentales.

Ejes y cuadrantes

El eje X es la recta horizontal y el eje Y es la recta vertical.
El punto (0, 0) se denomina origen.
Cada cuadrante se caracteriza por los signos de x e y:
Primer cuadrante: x > 0, y > 0
Segundo cuadrante: x < 0, y > 0
Tercer cuadrante: x < 0, y < 0
Cuarto cuadrante: x > 0, y < 0

Distancia entre dos puntos

Para calcular la distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) en el plano, se usa la fórmula:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Esta ecuación proviene del Teorema de Pitágoras y es esencial en numerosos problemas geométricos.

Vectores y magnitud

Un vector en 2D se expresa como (x, y), donde x y y representan sus componentes sobre los ejes X e Y, respectivamente.
La magnitud o longitud de este vector se determina con:
‖v‖ = √(x² + y²)
Es la misma fórmula de la distancia entre el origen (0,0) y el punto (x, y).

Transformaciones básicas en 2D

Traslación: Mover un punto (x, y) a (x + Δx, y + Δy).
Rotación: Al girar un punto (x, y) alrededor del origen 180°, se obtiene (-x, -y).
Para otros ángulos, se usan matrices de rotación.
Reflexión:
Respecto al eje X: (x, y) pasa a (x, -y).
Respecto al eje Y: (x, y) pasa a (-x, y).
Respecto al origen (180°): (x, y) pasa a (-x, -y).
Escalado (o dilatación): Multiplicar las coordenadas por un factor k.
Si k = 2, (x, y) pasa a (2x, 2y).

Sistema de coordenadas polares

En lugar de trabajar con (x, y), en polares cada punto se describe mediante (r, θ):
r es la distancia del punto al origen.
θ es el ángulo medido desde el eje positivo de x, generalmente en sentido anti-horario.

Conversión de polares a cartesianas

Las fórmulas de conversión son:
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
Por ejemplo, si r = 10 y θ = 90°:
x = 10 × cos(90°) = 10 × 0 = 0
y = 10 × sin(90°) = 10 × 1 = 10
El punto cartesiano resultante es (0, 10).

Conversión de cartesianas a polares

Para un punto (x, y), se aplica:
r = √(x² + y²)
θ = tan⁻¹(y/x)
El ángulo debe ajustarse dependiendo del cuadrante donde se ubique el punto para coincidir con la ubicación correcta en el plano.

Sistema de coordenadas tridimensionales

Ahora pasamos a 3D, donde un punto se describe con (x, y, z).

Planos principales

Plano XY: z = 0
Plano XZ: y = 0
Plano YZ: x = 0
Cada uno está formado por mantener una de las tres variables igual a cero.

Ejes de coordenadas

Eje X: donde y = 0 y z = 0.
Los puntos tienen la forma (x, 0, 0).
Eje Y: donde x = 0 y z = 0.
Los puntos tienen la forma (0, y, 0).
Eje Z: donde x = 0 y y = 0.
Los puntos tienen la forma (0, 0, z).

Distancia en el espacio

La fórmula para la distancia entre dos puntos (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂) es:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
También se deriva del Teorema de Pitágoras, pero aplicado a las tres dimensiones.

Reflexión en planos 3D

Reflejar un punto (x, y, z) en uno de los planos consiste en cambiar el signo de la coordenada asociada a ese plano:
Reflexión respecto al plano XY (z = 0): (x, y, z) → (x, y, -z)
Reflexión respecto al plano XZ (y = 0): (x, y, z) → (x, -y, z)
Reflexión respecto al plano YZ (x = 0): (x, y, z) → (-x, y, z)

Transformaciones geométricas en 3D

Al igual que en 2D, en 3D podemos trasladar, rotar y escalar figuras.
Sin embargo, las rotaciones son más complejas, pues se deben especificar los ejes de rotación o los planos sobre los cuales se realiza la operación.
Traslaciones: (x, y, z) pasa a (x + Δx, y + Δy, z + Δz).
Rotaciones: se definen con matrices 3×3 dependiendo del eje de giro.
Escalados: multiplicar cada coordenada por un factor k.
Por ejemplo, con factor 2, (x, y, z) → (2x, 2y, 2z).

Conclusiones

Conocer la ubicación de un punto (x, y) o (x, y, z) es esencial para identificar ejes y planos.
Saber transformar de coordenadas polares a cartesianas, y viceversa, ayuda a resolver problemas de ángulos y distancias de forma rápida.
Entender cómo hallar la distancia y la magnitud de un vector aporta las bases para el estudio de la geometría y la física.
Las transformaciones, ya sean en 2D o 3D, permiten manipular figuras y objetos, algo fundamental en ejercicios de rotaciones, reflexiones y escalados.
La práctica constante en la resolución de ejercicios con distintos niveles de dificultad es la clave para afianzar estos conceptos de forma sólida.
Este tutorial cubre los aspectos centrales de los sistemas de coordenadas cartesianas en 2D, polares y tridimensionales, así como las transformaciones más comunes en la geometría analítica.
Todo este conocimiento resulta altamente valioso para enfrentar con éxito cualquier prueba o ejercicio de la materia.