Simulacro Saber 11 - Crecimiento, periodicidad e intersecciones de funciones
Este resumen aborda crecimiento y decrecimiento de funciones, intersecciones con ejes, periodicidad trigonométrica y combinatoria básica.
Comprender la derivada permite detectar intervalos donde la curva sube o baja y localizar puntos críticos.
Al resolver f(x)=0 se obtienen raíces que indican cortes con el eje x, mientras igualar dos funciones revela sus encuentros.
Las funciones seno y coseno poseen período 2π, que se ajusta dividiéndolo por el factor k cuando aparece sin(kx) o cos(kx).
Exponenciales crecen siempre y logaritmos sólo existen para x>0, mostrando crecimiento lento y asíntota vertical en x=0.
Factorizar polinomios facilita hallar raíces y estudiar cambios de signo.
El principio fundamental del conteo, junto a permutaciones y combinaciones, permite medir rápidamente configuraciones posibles.
Comprender la derivada permite detectar intervalos donde la curva sube o baja y localizar puntos críticos.
Al resolver f(x)=0 se obtienen raíces que indican cortes con el eje x, mientras igualar dos funciones revela sus encuentros.
Las funciones seno y coseno poseen período 2π, que se ajusta dividiéndolo por el factor k cuando aparece sin(kx) o cos(kx).
Exponenciales crecen siempre y logaritmos sólo existen para x>0, mostrando crecimiento lento y asíntota vertical en x=0.
Factorizar polinomios facilita hallar raíces y estudiar cambios de signo.
El principio fundamental del conteo, junto a permutaciones y combinaciones, permite medir rápidamente configuraciones posibles.
A continuación encontrarás un tutorial completo sobre varios temas fundamentales en el análisis de funciones.
Este material abarca polinomios, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, además de combinatoria básica.
Todos estos puntos resultan útiles para resolver ejercicios sobre intersecciones con los ejes, periodos, monotonicidad y conteo de posibilidades.
Muchas preguntas de polinomios y funciones aparecen con frecuencia en el Saber 11.
A nivel de ICFES Saber 11, se evalúa la comprensión de la derivada y la identificación de intervalos de crecimiento.
En el Examen Saber 11, también se hace énfasis en la periodicidad de las funciones trigonométricas.
Por ello, la Preparación Saber 11 debe incluir ejercicios que combinen polinomios y funciones exponenciales.
Funciones polinómicas:
Por ejemplo, f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x.
Se puede estudiar su derivada f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1 para determinar en qué intervalos crece o decrece.
En un polinomio cuadrático f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, el signo de aa (coeficiente de x2x^2) nos indica si la parábola abre hacia arriba (a>0a>0, con un mínimo) o hacia abajo (a<0a<0, con un máximo).
Para cubicidades (grado 3) o superior, la derivada nos señala los puntos críticos y, si es necesario, la segunda derivada da pistas sobre puntos de inflexión.
Funciones exponenciales:
g(x)=exg(x) = e^x es siempre creciente porque su derivada g′(x)=exg'(x) = e^x es siempre positiva para todo valor real de xx.
Si la base es ee, la tasa de crecimiento es igual al valor de la propia función, lo cual la hace única y fundamental.
Funciones logarítmicas:
h(x)=ln(x)h(x) = \ln(x) solo está definida para x>0x > 0.
Su derivada es h′(x)=1xh'(x) = \tfrac{1}{x}.
Mientras x>0x>0, esta derivada es positiva (aunque decrece a medida que xx crece), por lo que la función ln(x)\ln(x) crece pero de manera más lenta.
Para saber con exactitud dónde una función es creciente o decreciente, podemos (1) derivarla, (2) resolver la ecuación f′(x)=0f'(x) = 0, (3) evaluar el signo de la derivada en los intervalos que aparecen al dividir la recta real con esas raíces de la derivada.
Esto puede requerir factorización, aplicación de métodos de resolución de ecuaciones (por ejemplo, la fórmula cuadrática) o transformaciones que simplifiquen el problema.
Ejemplos con polinomios:
x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0 factoriza como (x−2)2=0(x-2)^2 = 0.
Aquí se ve que la raíz es x=2x=2 con multiplicidad 2, lo que indica un único punto de corte con el eje xx.
x3−x=0x^3 - x = 0 factoriza como x(x−1)(x+1)=0x(x-1)(x+1)=0.
Las raíces son x=0,x=1x=0, x=1 y x=−1x=-1.
Esto da tres puntos de intersección con el eje xx.
Ejemplos con líneas y polinomios:
Para averiguar cuántos puntos de intersección hay entre f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 y g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3, se iguala x2+1=2x+3x^2 + 1 = 2x + 3.
Se obtiene una ecuación cuadrática que puede tener 0, 1 o 2 soluciones reales.
Funciones exponenciales y logarítmicas:
Para hallar la intersección de ln(x)\ln(x) con la recta y=1y=1, resolvemos ln(x)=1\ln(x) = 1.
Exponenciando, x=ex=e.
Si se pide resolver ex=2x+1e^x = 2x + 1, el método exacto puede requerir técnicas más avanzadas (p.e. Método de Lambert W) o soluciones gráficas.
Sin embargo, si no se exige exactitud, se puede razonar aproximaciones.
Asíntotas verticales:
Para r(x)=1/xr(x) = 1/x, existe una asíntota vertical en x=0x=0.
A medida que x→0+x \to 0^+, r(x)→+∞r(x) \to +\infty, y si x→0−x \to 0^-, r(x)→−∞r(x) \to -\infty.
La función básica sin(x)\sin(x) o cos(x)\cos(x) tiene período 2π2\pi.
Si la función es sin(kx)\sin(kx) o cos(kx)\cos(kx), su período se reduce a 2πk\frac{2\pi}{k}.
Por ejemplo, sin(2x)\sin(2x) tiene período π\pi, y sin(3x)\sin(3x) tiene período 2π3\frac{2\pi}{3}.
Asimismo, para encontrar dónde se anula sin(2x)\sin(2x) o cos(2x)\cos(2x) en un intervalo dado, se resuelven ecuaciones como sin(2x)=0\sin(2x)=0 o cos(2x)=0\cos(2x)=0.
sin(2x)=0 ⟹ 2x=nπ ⟹ x=nπ2\sin(2x) = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}.
cos(2x)=0 ⟹ 2x=π2+nπ ⟹ x=π4+nπ2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}.
Para estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento en las funciones trigonométricas, se analiza la derivada (por ejemplo, cos(x)\cos(x) para sin(x)\sin(x), y −sin(x)-\sin(x) para cos(x)\cos(x)) y se determina en qué lugares dicha derivada es positiva o negativa.
Si f′(x)>0f'(x) > 0 en un intervalo, la función es creciente allí.
Si f′(x)<0f'(x) < 0, la función es decreciente.
La segunda derivada f′′(x)f''(x) señala la concavidad:
Si f′′(x)>0f''(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
Si f′′(x)<0f''(x) < 0, es cóncava hacia abajo.
Un punto de inflexión ocurre cuando f′′(x)f''(x) cambia de signo (por ejemplo, pasa de negativo a positivo o viceversa), lo que indica un cambio en la concavidad.
Dominio: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty).
Rango: (0,+∞)(0, +\infty).
Crece en todo su dominio.
Intersección con eje yy (cuando x=0x=0) es y=1y=1.
No se anula para ningún xx.
Logarítmica ln(x)\ln(x):
Dominio: (0,+∞)(0, +\infty).
Rango: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty).
Crece de forma indefinida, pero más lentamente que cualquier polinomio a gran escala.
Presenta asíntota vertical en x=0x=0.
Cuando x→0+x \to 0^+, ln(x)→−∞\ln(x) \to -\infty.
Número de intersecciones con el eje xx.
Cambios de signo de la función.
Puntos de corte con otras funciones (por ejemplo, al igualar un polinomio con una recta).
Ejemplos:
x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3).
Intersecciones con eje xx en x=1x=1 y x=3x=3.
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.
Una sola intersección en x=2x=2.
−x2+4x-x^2 + 4x se puede reescribir como −(x2−4x)-\left(x^2 - 4x\right).
El vértice se halla con xv=−b2a\displaystyle x_v = -\frac{b}{2a}.
Resulta útil dominar estos conceptos:
Permutaciones:
Se utilizan cuando el orden importa.
Permutaciones de nn elementos distintos: n!n!.
Por ejemplo, cuántas formas de ordenar 4 libros en un estante: 4!=244! = 24.
Combinaciones:
Se aplican cuando el orden no importa.
Combinaciones de nn elementos tomados de kk en kk: C(n,k)=n!k!(n−k)!\displaystyle C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Ejemplo: elegir 3 sabores de helado entre 5, sin importar el orden: C(5,3)=10\displaystyle C(5,3) = 10.
Principio fundamental del conteo:
Si tienes aa formas de realizar un evento y bb formas de realizar otro, entonces para realizar ambos eventos de manera conjunta hay a×ba \times b posibilidades.
Ejemplo: 3 camisetas y 2 pantalones, cada día eliges 1 camiseta y 1 pantalón.
El total de combinaciones es 3×2=63 \times 2 = 6.
Estas fórmulas de conteo permiten responder preguntas sobre asignar puestos a personas, formar equipos o distribuir objetos.
Crecimiento y decrecimiento de polinomios, exponenciales y logarítmicas.
Periodos y cero de funciones trigonométricas.
Intersecciones con el eje xx y con otras funciones.
Derivadas para analizar monotonicidad y concavidad.
Combinatoria básica de permutaciones y combinaciones.
Toda esta base teórica es esencial al momento de resolver problemas típicos que involucran la ecuación de la recta, la factorización de polinomios, la determinación de períodos de funciones seno y coseno, y la aplicación de combinaciones y permutaciones para contar distintas configuraciones.
Te recomendamos practicar varios ejercicios variados para afianzar estos conocimientos, ya que es una de las mejores maneras de desarrollar confianza y rapidez de respuesta.
¡Éxitos en tu estudio y resolución de problemas!
Este material abarca polinomios, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, además de combinatoria básica.
Todos estos puntos resultan útiles para resolver ejercicios sobre intersecciones con los ejes, periodos, monotonicidad y conteo de posibilidades.
Muchas preguntas de polinomios y funciones aparecen con frecuencia en el Saber 11.
A nivel de ICFES Saber 11, se evalúa la comprensión de la derivada y la identificación de intervalos de crecimiento.
En el Examen Saber 11, también se hace énfasis en la periodicidad de las funciones trigonométricas.
Por ello, la Preparación Saber 11 debe incluir ejercicios que combinen polinomios y funciones exponenciales.
Crecimiento y decrecimiento de funciones
El crecimiento o decrecimiento de una función se determina a menudo analizando su derivada (cuando estamos en el terreno del cálculo) o, en el caso de funciones elementales, observando la forma de su gráfica o la factorización de sus términos.Funciones polinómicas:
Por ejemplo, f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x.
Se puede estudiar su derivada f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1 para determinar en qué intervalos crece o decrece.
En un polinomio cuadrático f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, el signo de aa (coeficiente de x2x^2) nos indica si la parábola abre hacia arriba (a>0a>0, con un mínimo) o hacia abajo (a<0a<0, con un máximo).
Para cubicidades (grado 3) o superior, la derivada nos señala los puntos críticos y, si es necesario, la segunda derivada da pistas sobre puntos de inflexión.
Funciones exponenciales:
g(x)=exg(x) = e^x es siempre creciente porque su derivada g′(x)=exg'(x) = e^x es siempre positiva para todo valor real de xx.
Si la base es ee, la tasa de crecimiento es igual al valor de la propia función, lo cual la hace única y fundamental.
Funciones logarítmicas:
h(x)=ln(x)h(x) = \ln(x) solo está definida para x>0x > 0.
Su derivada es h′(x)=1xh'(x) = \tfrac{1}{x}.
Mientras x>0x>0, esta derivada es positiva (aunque decrece a medida que xx crece), por lo que la función ln(x)\ln(x) crece pero de manera más lenta.
Para saber con exactitud dónde una función es creciente o decreciente, podemos (1) derivarla, (2) resolver la ecuación f′(x)=0f'(x) = 0, (3) evaluar el signo de la derivada en los intervalos que aparecen al dividir la recta real con esas raíces de la derivada.
Intersecciones con el eje xx y con otras funciones
Para determinar los puntos de intersección con el eje xx, se resuelve la ecuación f(x)=0f(x) = 0.Esto puede requerir factorización, aplicación de métodos de resolución de ecuaciones (por ejemplo, la fórmula cuadrática) o transformaciones que simplifiquen el problema.
Ejemplos con polinomios:
x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0 factoriza como (x−2)2=0(x-2)^2 = 0.
Aquí se ve que la raíz es x=2x=2 con multiplicidad 2, lo que indica un único punto de corte con el eje xx.
x3−x=0x^3 - x = 0 factoriza como x(x−1)(x+1)=0x(x-1)(x+1)=0.
Las raíces son x=0,x=1x=0, x=1 y x=−1x=-1.
Esto da tres puntos de intersección con el eje xx.
Ejemplos con líneas y polinomios:
Para averiguar cuántos puntos de intersección hay entre f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 y g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3, se iguala x2+1=2x+3x^2 + 1 = 2x + 3.
Se obtiene una ecuación cuadrática que puede tener 0, 1 o 2 soluciones reales.
Funciones exponenciales y logarítmicas:
Para hallar la intersección de ln(x)\ln(x) con la recta y=1y=1, resolvemos ln(x)=1\ln(x) = 1.
Exponenciando, x=ex=e.
Si se pide resolver ex=2x+1e^x = 2x + 1, el método exacto puede requerir técnicas más avanzadas (p.e. Método de Lambert W) o soluciones gráficas.
Sin embargo, si no se exige exactitud, se puede razonar aproximaciones.
Asíntotas verticales:
Para r(x)=1/xr(x) = 1/x, existe una asíntota vertical en x=0x=0.
A medida que x→0+x \to 0^+, r(x)→+∞r(x) \to +\infty, y si x→0−x \to 0^-, r(x)→−∞r(x) \to -\infty.
Periodicidad en funciones trigonométricas
Las funciones seno y coseno presentan un comportamiento periódico.La función básica sin(x)\sin(x) o cos(x)\cos(x) tiene período 2π2\pi.
Si la función es sin(kx)\sin(kx) o cos(kx)\cos(kx), su período se reduce a 2πk\frac{2\pi}{k}.
Por ejemplo, sin(2x)\sin(2x) tiene período π\pi, y sin(3x)\sin(3x) tiene período 2π3\frac{2\pi}{3}.
Asimismo, para encontrar dónde se anula sin(2x)\sin(2x) o cos(2x)\cos(2x) en un intervalo dado, se resuelven ecuaciones como sin(2x)=0\sin(2x)=0 o cos(2x)=0\cos(2x)=0.
sin(2x)=0 ⟹ 2x=nπ ⟹ x=nπ2\sin(2x) = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}.
cos(2x)=0 ⟹ 2x=π2+nπ ⟹ x=π4+nπ2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}.
Para estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento en las funciones trigonométricas, se analiza la derivada (por ejemplo, cos(x)\cos(x) para sin(x)\sin(x), y −sin(x)-\sin(x) para cos(x)\cos(x)) y se determina en qué lugares dicha derivada es positiva o negativa.
Uso de la derivada en el estudio del crecimiento y la concavidad
La derivada f′(x)f'(x) indica la pendiente de la curva:Si f′(x)>0f'(x) > 0 en un intervalo, la función es creciente allí.
Si f′(x)<0f'(x) < 0, la función es decreciente.
La segunda derivada f′′(x)f''(x) señala la concavidad:
Si f′′(x)>0f''(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
Si f′′(x)<0f''(x) < 0, es cóncava hacia abajo.
Un punto de inflexión ocurre cuando f′′(x)f''(x) cambia de signo (por ejemplo, pasa de negativo a positivo o viceversa), lo que indica un cambio en la concavidad.
Funciones exponenciales y logarítmicas
Exponencial exe^x:Dominio: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty).
Rango: (0,+∞)(0, +\infty).
Crece en todo su dominio.
Intersección con eje yy (cuando x=0x=0) es y=1y=1.
No se anula para ningún xx.
Logarítmica ln(x)\ln(x):
Dominio: (0,+∞)(0, +\infty).
Rango: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty).
Crece de forma indefinida, pero más lentamente que cualquier polinomio a gran escala.
Presenta asíntota vertical en x=0x=0.
Cuando x→0+x \to 0^+, ln(x)→−∞\ln(x) \to -\infty.
Polinomios y factorización
Para resolver ecuaciones de polinomios y hallar sus raíces se pueden usar técnicas de factorización, que también permiten analizar:Número de intersecciones con el eje xx.
Cambios de signo de la función.
Puntos de corte con otras funciones (por ejemplo, al igualar un polinomio con una recta).
Ejemplos:
x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3).
Intersecciones con eje xx en x=1x=1 y x=3x=3.
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.
Una sola intersección en x=2x=2.
−x2+4x-x^2 + 4x se puede reescribir como −(x2−4x)-\left(x^2 - 4x\right).
El vértice se halla con xv=−b2a\displaystyle x_v = -\frac{b}{2a}.
Combinatoria básica: permutaciones, combinaciones y principio fundamental del conteo
Aunque parezca un tema distinto al de las funciones, las preguntas de combinatoria también aparecen con frecuencia en la misma evaluación de conocimientos.Resulta útil dominar estos conceptos:
Permutaciones:
Se utilizan cuando el orden importa.
Permutaciones de nn elementos distintos: n!n!.
Por ejemplo, cuántas formas de ordenar 4 libros en un estante: 4!=244! = 24.
Combinaciones:
Se aplican cuando el orden no importa.
Combinaciones de nn elementos tomados de kk en kk: C(n,k)=n!k!(n−k)!\displaystyle C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Ejemplo: elegir 3 sabores de helado entre 5, sin importar el orden: C(5,3)=10\displaystyle C(5,3) = 10.
Principio fundamental del conteo:
Si tienes aa formas de realizar un evento y bb formas de realizar otro, entonces para realizar ambos eventos de manera conjunta hay a×ba \times b posibilidades.
Ejemplo: 3 camisetas y 2 pantalones, cada día eliges 1 camiseta y 1 pantalón.
El total de combinaciones es 3×2=63 \times 2 = 6.
Estas fórmulas de conteo permiten responder preguntas sobre asignar puestos a personas, formar equipos o distribuir objetos.
Conclusión
Hemos revisado los aspectos claves de:Crecimiento y decrecimiento de polinomios, exponenciales y logarítmicas.
Periodos y cero de funciones trigonométricas.
Intersecciones con el eje xx y con otras funciones.
Derivadas para analizar monotonicidad y concavidad.
Combinatoria básica de permutaciones y combinaciones.
Toda esta base teórica es esencial al momento de resolver problemas típicos que involucran la ecuación de la recta, la factorización de polinomios, la determinación de períodos de funciones seno y coseno, y la aplicación de combinaciones y permutaciones para contar distintas configuraciones.
Te recomendamos practicar varios ejercicios variados para afianzar estos conocimientos, ya que es una de las mejores maneras de desarrollar confianza y rapidez de respuesta.
¡Éxitos en tu estudio y resolución de problemas!