Simulacro Saber 11 - Relaciones de congruencia y semejanza
La congruencia asegura que dos figuras coinciden punto por punto, es decir, sus lados y ángulos son idénticos.
En triángulos se verifica con criterios LLL, LAL o ALA, evitando medir cada elemento por separado.
La semejanza conserva forma pero permite escalas diferentes cuando los ángulos son iguales y los lados homólogos guardan una proporción constante k.
Recordar que áreas escalan por k² y perímetros por k facilita cálculos de superficies ampliadas.
Para resolver ejercicios, identifica primero si buscas una relación 1:1 (congruencia) o un factor de escala (semejanza).
Practica determinando razones y aplicando criterios antes de abordar un Simulacro Saber 11 que combine ambos conceptos en problemas de medición.
En triángulos se verifica con criterios LLL, LAL o ALA, evitando medir cada elemento por separado.
La semejanza conserva forma pero permite escalas diferentes cuando los ángulos son iguales y los lados homólogos guardan una proporción constante k.
Recordar que áreas escalan por k² y perímetros por k facilita cálculos de superficies ampliadas.
Para resolver ejercicios, identifica primero si buscas una relación 1:1 (congruencia) o un factor de escala (semejanza).
Practica determinando razones y aplicando criterios antes de abordar un Simulacro Saber 11 que combine ambos conceptos en problemas de medición.
El estudio de la geometría incluye la comparación y el análisis de figuras mediante las relaciones de congruencia y de semejanza.
Estos conceptos permiten determinar si dos figuras tienen la misma forma y/o el mismo tamaño.
A lo largo de este tutorial, profundizaremos en sus definiciones, criterios, aplicaciones y ejemplos, para brindar una visión amplia y completa de este tema.
Saber 11 incluye preguntas en las que es preciso identificar qué figuras son congruentes o semejantes, y aplicar razonamientos sobre sus lados, ángulos y áreas.
Estas competencias se refuerzan a través de la práctica, lo cual resulta fundamental en exámenes estandarizados.
Esto significa que al superponer una sobre otra, coinciden punto a punto sin dejar espacio o excedentes.
En otras palabras, todos los ángulos y todos los lados correspondientes son exactamente iguales.
Propiedades de la congruencia
Lados homólogos iguales: cada lado de una figura coincide en longitud con el lado correspondiente de la otra.
Ángulos correspondientes iguales: cada ángulo de la primera figura es igual en medida al ángulo que le corresponde en la segunda.
Mismo perímetro y misma área: dado que el tamaño es el mismo, ambos polígonos o figuras comparten estas magnitudes.
Un Examen Saber 11 puede presentar ejercicios en los que se exige reconocer la congruencia mediante determinados criterios, especialmente en triángulos.
LLL (SSS): Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son congruentes.
LAL (SAS): Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales en ambos triángulos, hay congruencia.
ALA (ASA): Si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos coinciden en dos triángulos, se garantiza la congruencia.
AAL (AAS): Dos ángulos y un lado que no se encuentra entre ellos —pero sí corresponde al mismo ángulo— suelen considerarse un criterio válido para establecer congruencia (aunque algunos textos lo clasifican como una variante de ASA).
Las distintas pruebas exigen saber cuándo aplicar cada criterio.
Esto se observa de manera recurrente en la Preparación Saber 11.
Para que dos figuras sean semejantes, deben cumplir:
Ángulos correspondientes iguales: la forma de la figura se conserva, así que cada ángulo se mantiene.
Lados correspondientes proporcionales: el factor de escala (o razón de semejanza) es el mismo para todos los lados.
Un ejemplo típico es el de dos triángulos donde uno puede ser una “ampliación” o “reducción” del otro, manteniendo idéntica forma y distinta escala de tamaño.
Por ejemplo, si se duplican las longitudes de todos los lados, la razón es 2 : 1.
Si se reduce la medida de cada lado a la mitad, la razón es 1 : 2.
Áreas y la razón de semejanza
Si la razón lineal entre dos figuras es k, entonces la razón entre sus áreas es k².
De este modo, si un triángulo se amplía con factor 3, su área crece 9 veces.
Los lados se corresponden en longitud; no hay factor de escala distinto de 1.
Todos los ángulos son iguales uno a uno.
Áreas y perímetros iguales.
Semejanza
Los lados guardan una proporción constante, pero pueden diferir en longitud si la escala no es 1.
Todos los ángulos correspondientes son iguales; la forma se conserva.
Las áreas guardan la proporción del cuadrado de la razón de semejanza, y los perímetros la misma proporción lineal.
Al momento de resolver preguntas en ICFES Saber 11, es útil distinguir cuándo se requiere congruencia (coincidencia total de tamaño) y cuándo se alude a semejanza (misma forma, distinta escala).
Diseños y escalas: desde planos arquitectónicos hasta mapas, el uso de escalas corresponde a la semejanza.
Construcciones geométricas: el dibujo con regla y compás se basa en reproducir longitudes iguales (congruencia) o escaladas.
Pruebas académicas: la Preparación Saber 11 incluye problemas típicos sobre razones, diagonales de polígonos, triángulos notables y transformaciones geométricas, donde es esencial manejar la congruencia y la semejanza.
Para confirmar su semejanza:
Compara ángulos (o comprueba la relación de lados para verificar si hay un factor único).
Busca la razón de semejanza:
Revisando 8 → 12 (factor 12 / 8 = 3 / 2).
Revisando 6 → 9 (factor 9 / 6 = 3 / 2).
Revisando 4 → 6 (factor 6 / 4 = 3 / 2).
Conclusión: los tres pares de lados guardan la misma proporción 3 : 2, confirmando semejanza.
Aplicación: si se pregunta por el área del triángulo mayor, se multiplicaría el área del menor por (3 / 2)² = 9 / 4.
Si en lugar de medir 12, 9, 6 cm, resultara que un lado no sigue la proporción, los triángulos no serían semejantes.
Para casos de congruencia, todos los lados deberían ser exactamente iguales (proporción 1 : 1).
Revisa criterios: en triángulos, los criterios LLL, LAL, ALA, etc., facilitan la demostración de congruencia.
Para la semejanza, basta probar que los ángulos son iguales o que existe una constante de proporcionalidad para los lados.
Calcula la razón de semejanza: si la escala se repite en todos los lados homólogos, hay semejanza.
Observa los ángulos: una diferencia angular anula la posibilidad de semejanza o congruencia.
Sé metódico: un error común es confundir la razón de áreas con la razón de los lados.
Este tipo de enfoque es particularmente útil en contextos académicos.
En un Examen Saber 11, los enunciados suelen presentar figuras con medidas parciales o con referencias al factor de escala.
Siguiendo los pasos adecuados, es factible dar con la respuesta exacta.
Congruencia implica igualdad total de forma y tamaño, mientras que semejanza conserva la forma pero no necesariamente el tamaño.
Para respaldar estas nociones en la práctica, se emplean criterios de congruencia y demostraciones de proporcionalidad, además del análisis de ángulos.
Estos conceptos se aplican en múltiples ámbitos, desde la resolución de problemas didácticos hasta el diseño de escalas o la comprobación de prototipos en la industria.
El dominio de estas ideas es beneficioso para la comprensión profunda de la geometría y el razonamiento espacial.
Aquellos que se preparan para presentar un examen, como el ICFES Saber 11, encontrarán en la práctica de problemas de congruencia y semejanza una herramienta fundamental para afianzar sus habilidades matemáticas.
Una vez internalizados los fundamentos, resulta mucho más sencillo reconocer y solucionar los ejercicios relacionados con figuras congruentes o semejantes en cualquier entorno académico o profesional.
Estos conceptos permiten determinar si dos figuras tienen la misma forma y/o el mismo tamaño.
A lo largo de este tutorial, profundizaremos en sus definiciones, criterios, aplicaciones y ejemplos, para brindar una visión amplia y completa de este tema.
Saber 11 incluye preguntas en las que es preciso identificar qué figuras son congruentes o semejantes, y aplicar razonamientos sobre sus lados, ángulos y áreas.
Estas competencias se refuerzan a través de la práctica, lo cual resulta fundamental en exámenes estandarizados.
Definición de congruencia
La congruencia entre dos figuras geométricas se da cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño.Esto significa que al superponer una sobre otra, coinciden punto a punto sin dejar espacio o excedentes.
En otras palabras, todos los ángulos y todos los lados correspondientes son exactamente iguales.
Propiedades de la congruencia
Lados homólogos iguales: cada lado de una figura coincide en longitud con el lado correspondiente de la otra.
Ángulos correspondientes iguales: cada ángulo de la primera figura es igual en medida al ángulo que le corresponde en la segunda.
Mismo perímetro y misma área: dado que el tamaño es el mismo, ambos polígonos o figuras comparten estas magnitudes.
Un Examen Saber 11 puede presentar ejercicios en los que se exige reconocer la congruencia mediante determinados criterios, especialmente en triángulos.
Criterios de congruencia en triángulos
Para triángulos, existen criterios que garantizan que dos triángulos son congruentes sin necesidad de comprobar cada lado y cada ángulo:LLL (SSS): Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son congruentes.
LAL (SAS): Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales en ambos triángulos, hay congruencia.
ALA (ASA): Si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos coinciden en dos triángulos, se garantiza la congruencia.
AAL (AAS): Dos ángulos y un lado que no se encuentra entre ellos —pero sí corresponde al mismo ángulo— suelen considerarse un criterio válido para establecer congruencia (aunque algunos textos lo clasifican como una variante de ASA).
Las distintas pruebas exigen saber cuándo aplicar cada criterio.
Esto se observa de manera recurrente en la Preparación Saber 11.
Definición de semejanza
La semejanza describe figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.Para que dos figuras sean semejantes, deben cumplir:
Ángulos correspondientes iguales: la forma de la figura se conserva, así que cada ángulo se mantiene.
Lados correspondientes proporcionales: el factor de escala (o razón de semejanza) es el mismo para todos los lados.
Un ejemplo típico es el de dos triángulos donde uno puede ser una “ampliación” o “reducción” del otro, manteniendo idéntica forma y distinta escala de tamaño.
Razón de semejanza
La razón de semejanza se obtiene al comparar la medida de un lado en la primera figura con la medida del lado correspondiente en la segunda.Por ejemplo, si se duplican las longitudes de todos los lados, la razón es 2 : 1.
Si se reduce la medida de cada lado a la mitad, la razón es 1 : 2.
Áreas y la razón de semejanza
Si la razón lineal entre dos figuras es k, entonces la razón entre sus áreas es k².
De este modo, si un triángulo se amplía con factor 3, su área crece 9 veces.
Diferencias y relaciones entre congruencia y semejanza
CongruenciaLos lados se corresponden en longitud; no hay factor de escala distinto de 1.
Todos los ángulos son iguales uno a uno.
Áreas y perímetros iguales.
Semejanza
Los lados guardan una proporción constante, pero pueden diferir en longitud si la escala no es 1.
Todos los ángulos correspondientes son iguales; la forma se conserva.
Las áreas guardan la proporción del cuadrado de la razón de semejanza, y los perímetros la misma proporción lineal.
Al momento de resolver preguntas en ICFES Saber 11, es útil distinguir cuándo se requiere congruencia (coincidencia total de tamaño) y cuándo se alude a semejanza (misma forma, distinta escala).
Aplicaciones de congruencia y semejanza
Problemas de medición: calcular longitudes desconocidas a partir de razones de semejanza o superposiciones de figuras congruentes.Diseños y escalas: desde planos arquitectónicos hasta mapas, el uso de escalas corresponde a la semejanza.
Construcciones geométricas: el dibujo con regla y compás se basa en reproducir longitudes iguales (congruencia) o escaladas.
Pruebas académicas: la Preparación Saber 11 incluye problemas típicos sobre razones, diagonales de polígonos, triángulos notables y transformaciones geométricas, donde es esencial manejar la congruencia y la semejanza.
Ejemplo práctico
Supongamos que tenemos un triángulo ABC con lados de 8, 6 y 4 cm, y un triángulo DEF con lados de 12, 9 y 6 cm.Para confirmar su semejanza:
Compara ángulos (o comprueba la relación de lados para verificar si hay un factor único).
Busca la razón de semejanza:
Revisando 8 → 12 (factor 12 / 8 = 3 / 2).
Revisando 6 → 9 (factor 9 / 6 = 3 / 2).
Revisando 4 → 6 (factor 6 / 4 = 3 / 2).
Conclusión: los tres pares de lados guardan la misma proporción 3 : 2, confirmando semejanza.
Aplicación: si se pregunta por el área del triángulo mayor, se multiplicaría el área del menor por (3 / 2)² = 9 / 4.
Si en lugar de medir 12, 9, 6 cm, resultara que un lado no sigue la proporción, los triángulos no serían semejantes.
Para casos de congruencia, todos los lados deberían ser exactamente iguales (proporción 1 : 1).
Consejos para resolver ejercicios de congruencia y semejanza
Identifica la figura y el tipo de problema: ¿necesitas comprobar congruencia o semejanza?Revisa criterios: en triángulos, los criterios LLL, LAL, ALA, etc., facilitan la demostración de congruencia.
Para la semejanza, basta probar que los ángulos son iguales o que existe una constante de proporcionalidad para los lados.
Calcula la razón de semejanza: si la escala se repite en todos los lados homólogos, hay semejanza.
Observa los ángulos: una diferencia angular anula la posibilidad de semejanza o congruencia.
Sé metódico: un error común es confundir la razón de áreas con la razón de los lados.
Este tipo de enfoque es particularmente útil en contextos académicos.
En un Examen Saber 11, los enunciados suelen presentar figuras con medidas parciales o con referencias al factor de escala.
Siguiendo los pasos adecuados, es factible dar con la respuesta exacta.
Conclusión
Las relaciones de congruencia y semejanza son pilares en la geometría.Congruencia implica igualdad total de forma y tamaño, mientras que semejanza conserva la forma pero no necesariamente el tamaño.
Para respaldar estas nociones en la práctica, se emplean criterios de congruencia y demostraciones de proporcionalidad, además del análisis de ángulos.
Estos conceptos se aplican en múltiples ámbitos, desde la resolución de problemas didácticos hasta el diseño de escalas o la comprobación de prototipos en la industria.
El dominio de estas ideas es beneficioso para la comprensión profunda de la geometría y el razonamiento espacial.
Aquellos que se preparan para presentar un examen, como el ICFES Saber 11, encontrarán en la práctica de problemas de congruencia y semejanza una herramienta fundamental para afianzar sus habilidades matemáticas.
Una vez internalizados los fundamentos, resulta mucho más sencillo reconocer y solucionar los ejercicios relacionados con figuras congruentes o semejantes en cualquier entorno académico o profesional.