Simulacro Saber 11 - Teoremas clásicos Pitágoras y Tales
Los teoremas de Pitágoras y de Tales son esenciales para calcular longitudes y establecer proporciones en geometría.
Pitágoras aplica a triángulos rectángulos mediante c²=a²+b² para hallar hipotenusas o catetos desconocidos.
Tales relaciona segmentos creados por rectas paralelas y permite comparar alturas con sombras usando razones iguales.
Reconocer triángulos semejantes facilita resolver problemas de escalas, mapas y mediciones indirectas.
Usa ternas pitagóricas como 3-4-5 o 7-24-25 para verificar cálculos rápidos en el aula o en campo.
Dibuja la situación, etiqueta datos y plantea proporciones antes de sustituir valores numéricos.
Practica estos pasos antes de un Simulacro Saber 11 para ganar precisión, velocidad y confianza en el examen.
Pitágoras aplica a triángulos rectángulos mediante c²=a²+b² para hallar hipotenusas o catetos desconocidos.
Tales relaciona segmentos creados por rectas paralelas y permite comparar alturas con sombras usando razones iguales.
Reconocer triángulos semejantes facilita resolver problemas de escalas, mapas y mediciones indirectas.
Usa ternas pitagóricas como 3-4-5 o 7-24-25 para verificar cálculos rápidos en el aula o en campo.
Dibuja la situación, etiqueta datos y plantea proporciones antes de sustituir valores numéricos.
Practica estos pasos antes de un Simulacro Saber 11 para ganar precisión, velocidad y confianza en el examen.
Los teoremas de Pitágoras y de Tales son dos columnas fundamentales de la geometría.
Se aplican en la resolución de problemas relacionados con triángulos rectángulos, distancias, proporciones de figuras y la medición de objetos en distintos contextos.
A continuación, se desarrolla un recorrido amplio y detallado acerca de cada uno de estos teoremas, su utilidad y ejemplos de aplicación.
Saber 11 suele incluir ejercicios donde se aplica tanto el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en triángulos rectángulos como el teorema de Tales para resolver situaciones de proporcionalidad y semejanza.
Dado que el ICFES Saber 11 revisa estos conocimientos, conviene manejarlos con soltura.
En todo triángulo rectángulo, se cumple la relación c² = a² + b², donde c es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) y a, b son los otros dos lados (catetos).
Consecuencia:
Si se conocen dos de los lados de un triángulo rectángulo, es posible hallar el tercero.
Aplicaciones típicas:
• Determinar la altura de un objeto cuando se conoce la distancia en el suelo y la longitud de la escalera o el cable que lo une.
• Calcular la distancia diagonal en rectángulos o cuadrados (por ejemplo, la diagonal de un terreno).
• Resolver problemas de navegación, topografía y agrimensura que requieran medir distancias indirectamente.
Ejemplos numéricos:
• Si un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm, la hipotenusa se halla con 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ⇒ c = √225 = 15.
• Si la hipotenusa es de 25 cm y uno de los catetos mide 7 cm, el otro cateto se calcula con 25² = 7² + b² ⇒ b = √(625 − 49) = 24.
Cuando se trazan rectas paralelas que cortan a dos rectas secantes, los segmentos correspondientes guardan proporciones.
Una de las aplicaciones más conocidas permite deducir la igualdad de razones entre longitudes de objetos y la longitud de sus sombras.
Aplicaciones:
• Sombras y alturas: comparar la sombra que proyecta un objeto y su altura con la sombra y la altura de otro objeto, deduciendo la altura faltante.
• Triángulos semejantes: si dos ángulos son iguales y ciertas líneas son paralelas, se establecen proporciones entre los lados.
Ejemplo de situación:
Si una persona de 1.6 m de altura proyecta una sombra de 0.8 m y un poste proyecta 4 m de sombra, la altura del poste H se halla con H⁄4 = 1.6⁄0.8 ⇒ H = 4 × 2 = 8 m.
El teorema de Tales, además de permitir comparar alturas y sombras, explica la razón por la que, al trazar segmentos paralelos a un lado de un triángulo, se obtienen figuras semejantes y, por lo tanto, relaciones proporcionales entre los lados.
Aplica c² = a² + b² si el enunciado menciona un ángulo recto o un caso evidente de perpendicularidad.
• Reconoce problemas de proporcionalidad.
Cuando aparecen sombras o segmentos paralelos, suele aplicarse el teorema de Tales.
Plantea razones de la forma altura₁⁄sombra₁ = altura₂⁄sombra₂.
• Comprueba con ternas pitagóricas: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, etc.
• Dibuja y rotula los datos para visualizar rectas perpendiculares o paralelas.
Hipotenusa = √(9² + 12²) = 15 cm.
Sombras y alturas:
Una persona de 1.8 m proyecta sombra de 1.2 m y un árbol proyecta 8 m.
Altura del árbol⁄8 = 1.8⁄1.2 ⇒ altura = 8 × 1.5 = 12 m.
Trapecio con bases 9 m y 25 m dividido por un segmento paralelo que produce áreas iguales:
Longitud del segmento = √(9 × 25) = 15 m.
Su dominio es esencial para enfrentar cuestiones de distancia, ángulos rectos y proporcionalidad en problemas escolares y de la vida cotidiana.
La Preparación Saber 11 exige la aplicación flexible de estos teoremas, integrándolos con otras nociones geométricas.
Con ambos teoremas debidamente asimilados se simplifican la mayoría de los problemas de geometría elemental que puedan aparecer en pruebas académicas y en contextos de medición real.
Se aplican en la resolución de problemas relacionados con triángulos rectángulos, distancias, proporciones de figuras y la medición de objetos en distintos contextos.
A continuación, se desarrolla un recorrido amplio y detallado acerca de cada uno de estos teoremas, su utilidad y ejemplos de aplicación.
Saber 11 suele incluir ejercicios donde se aplica tanto el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en triángulos rectángulos como el teorema de Tales para resolver situaciones de proporcionalidad y semejanza.
Dado que el ICFES Saber 11 revisa estos conocimientos, conviene manejarlos con soltura.
Teorema de Pitágoras
Enunciado:En todo triángulo rectángulo, se cumple la relación c² = a² + b², donde c es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) y a, b son los otros dos lados (catetos).
Consecuencia:
Si se conocen dos de los lados de un triángulo rectángulo, es posible hallar el tercero.
Aplicaciones típicas:
• Determinar la altura de un objeto cuando se conoce la distancia en el suelo y la longitud de la escalera o el cable que lo une.
• Calcular la distancia diagonal en rectángulos o cuadrados (por ejemplo, la diagonal de un terreno).
• Resolver problemas de navegación, topografía y agrimensura que requieran medir distancias indirectamente.
Ejemplos numéricos:
• Si un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm, la hipotenusa se halla con 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ⇒ c = √225 = 15.
• Si la hipotenusa es de 25 cm y uno de los catetos mide 7 cm, el otro cateto se calcula con 25² = 7² + b² ⇒ b = √(625 − 49) = 24.
Teorema de Tales
Enunciado:Cuando se trazan rectas paralelas que cortan a dos rectas secantes, los segmentos correspondientes guardan proporciones.
Una de las aplicaciones más conocidas permite deducir la igualdad de razones entre longitudes de objetos y la longitud de sus sombras.
Aplicaciones:
• Sombras y alturas: comparar la sombra que proyecta un objeto y su altura con la sombra y la altura de otro objeto, deduciendo la altura faltante.
• Triángulos semejantes: si dos ángulos son iguales y ciertas líneas son paralelas, se establecen proporciones entre los lados.
Ejemplo de situación:
Si una persona de 1.6 m de altura proyecta una sombra de 0.8 m y un poste proyecta 4 m de sombra, la altura del poste H se halla con H⁄4 = 1.6⁄0.8 ⇒ H = 4 × 2 = 8 m.
Conexión entre Pitágoras y Tales
El teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos.El teorema de Tales, además de permitir comparar alturas y sombras, explica la razón por la que, al trazar segmentos paralelos a un lado de un triángulo, se obtienen figuras semejantes y, por lo tanto, relaciones proporcionales entre los lados.
Consejos para la resolución de ejercicios
• Identifica el triángulo rectángulo.Aplica c² = a² + b² si el enunciado menciona un ángulo recto o un caso evidente de perpendicularidad.
• Reconoce problemas de proporcionalidad.
Cuando aparecen sombras o segmentos paralelos, suele aplicarse el teorema de Tales.
Plantea razones de la forma altura₁⁄sombra₁ = altura₂⁄sombra₂.
• Comprueba con ternas pitagóricas: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, etc.
• Dibuja y rotula los datos para visualizar rectas perpendiculares o paralelas.
Ejemplos de ejercicios completos
Triángulo rectángulo con catetos 9 y 12 cm:Hipotenusa = √(9² + 12²) = 15 cm.
Sombras y alturas:
Una persona de 1.8 m proyecta sombra de 1.2 m y un árbol proyecta 8 m.
Altura del árbol⁄8 = 1.8⁄1.2 ⇒ altura = 8 × 1.5 = 12 m.
Trapecio con bases 9 m y 25 m dividido por un segmento paralelo que produce áreas iguales:
Longitud del segmento = √(9 × 25) = 15 m.
Conclusión
Los teoremas de Pitágoras y de Tales se hallan entre las herramientas más básicas y potentes de la geometría.Su dominio es esencial para enfrentar cuestiones de distancia, ángulos rectos y proporcionalidad en problemas escolares y de la vida cotidiana.
La Preparación Saber 11 exige la aplicación flexible de estos teoremas, integrándolos con otras nociones geométricas.
Con ambos teoremas debidamente asimilados se simplifican la mayoría de los problemas de geometría elemental que puedan aparecer en pruebas académicas y en contextos de medición real.