Simulacro Saber 11 - Transformaciones en el plano (traslaciones, rotaciones, homotecias, reflexiones)
Las transformaciones en el plano permiten mover, girar, reflejar o escalar figuras sin perder relaciones esenciales.
Traslaciones desplazan (x,y)→(x+h,y+k).
Rotaciones giran alrededor de un centro; 90° antihorario: (x,y)→(−y,x).
Reflexiones invierten respecto a ejes o rectas como x=a.
Homotecias escalan desde un centro con factor k, conservando la forma.
Estas ideas ayudan a resolver coordenadas, distancias y problemas de semejanza en geometría escolar.
Practica describir la imagen resultante tras una secuencia de movimientos y verifica cada punto.
Prepárate con ejercicios del Simulacro Saber 11 para dominar reglas rápidas y evitar errores de signo.
Con práctica, aplicar transformaciones se vuelve mecánico y preciso.
Traslaciones desplazan (x,y)→(x+h,y+k).
Rotaciones giran alrededor de un centro; 90° antihorario: (x,y)→(−y,x).
Reflexiones invierten respecto a ejes o rectas como x=a.
Homotecias escalan desde un centro con factor k, conservando la forma.
Estas ideas ayudan a resolver coordenadas, distancias y problemas de semejanza en geometría escolar.
Practica describir la imagen resultante tras una secuencia de movimientos y verifica cada punto.
Prepárate con ejercicios del Simulacro Saber 11 para dominar reglas rápidas y evitar errores de signo.
Con práctica, aplicar transformaciones se vuelve mecánico y preciso.
El estudio de las transformaciones en el plano es fundamental en geometría.
Permite comprender cómo las figuras cambian su posición, su orientación o su tamaño sin alterar esencialmente su forma o proporciones (excepto en casos donde se aplican escalas).
Estas transformaciones son frecuentes en problemas de diferente nivel y se dividen, principalmente, en cuatro categorías:
Traslaciones
Rotaciones
Reflexiones
Homotecias.
Además de ser útiles para analizar propiedades de figuras y su invarianza, estas transformaciones tienen un fuerte componente práctico en la comprensión de la geometría moderna y en aplicaciones computacionales, diseño, entre otros.
Se desplaza cada punto de una figura una misma distancia en la misma dirección.
Si el desplazamiento es h en el eje x y k en el eje y, entonces un punto (x,y) pasa a (x+h, y+k).
Características
Conservar el tamaño, la forma y la orientación de la figura.
No hay cambio de ángulos ni de longitudes.
Ejemplo
El punto (2,5) trasladado 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba se convierte en (2−3,5+2)=(−1,7).
Giran todos los puntos de la figura alrededor de un punto fijo, llamado centro de rotación (generalmente el origen), con un determinado ángulo y sentido (horario o antihorario).
En el plano cartesiano, se suele usar el origen (0,0) como centro.
Rotaciones típicas
90° antihorario: (x,y)→(−y,x).
90° horario: (x,y)→(y,−x).
180°: (x,y)→(−x,−y).
Ejemplo
Rotar (3,4) 180° alrededor del origen: (3,4) pasa a (−3,−4).
Reflejan todos los puntos de una figura respecto a una línea dada (eje de reflexión).
Cada punto se ubica en el lado opuesto de la línea, conservando su distancia a la misma.
Reflexiones comunes
Eje X: (x,y)→(x,−y).
Eje Y: (x,y)→(−x,y).
Recta y=x: (x,y)→(y,x).
Recta y=c o x=c: se calcula la distancia del punto a esa recta y se invierte su signo.
Ejemplo
(2,3) reflejado respecto al eje X: (2,3) pasa a (2,−3).
(4,−2) reflejado en x=1: la distancia a la línea x=1 es (4−1)=3.
Al reflejar, el nuevo x será 1−3=−2, y la y se mantiene −2.
Queda (−2,−2).
Transformación de semejanza que modifica el tamaño de la figura manteniendo su forma.
Se define por un centro (un punto fijo C) y un factor de escala k.
Cada punto (x,y) se traslada sobre la línea que une (x,y) con C de modo que su distancia al centro se multiplica por |k|.
El signo de k indica la dirección: si k>0, mantiene la dirección; si k<0, invierte la posición respecto al centro.
Fórmula
Si el centro es (a,b) y el factor es k, entonces un punto (x,y) pasa a (a+k(x−a), b+k(y−b)).
En particular, si el centro es el origen (0,0), la transformación se simplifica a (kx,ky).
Ejemplo
Homotecia con centro en el origen y k=2 sobre (3,−4) da (6,−8).
Con centro (2,2) y k=−1 sobre (6,2) se obtiene (−2,2).
Es útil hacer un bosquejo en papel, marcando puntos y vectores de desplazamiento para no equivocarse.
Identifica claramente ejes de reflexión, centros de homotecia o ángulos de rotación.
Uso de reglas de transformación.
Memoriza o ten a mano las reglas básicas (por ejemplo, rotaciones de 90°, 180°, reflexiones en ejes, etc.).
Para reflexiones en líneas x=a o y=b, revisa la distancia al eje de simetría y refleja la coordenada que cambia.
Composiciones.
A veces se compone más de una transformación: por ejemplo, una traslación seguida de una reflexión.
Haz los pasos en orden y verifica cada resultado intermedio.
Invariantes.
Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no alteran la forma ni el tamaño de la figura, solo su posición o su orientación.
En cambio, la homotecia altera la escala, pero conserva la forma (sigue siendo semejante).
Se solicita:
Trasladar 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
Cada vértice (x,y) pasa a (x+2,y+3).
Así, A(1,1) se convierte en (3,4), etc.
Reflejar el resultado en el eje X.
(x,y) pasa a (x,−y).
Si, después de la traslación, un vértice era (3,4), tras la reflexión en X pasa a (3,−4).
Conclusión: revisa la coordenada final de cada punto y observa la nueva figura.
Permiten mover una figura, girarla, reflejarla o cambiar su tamaño sistemáticamente.
La Preparación Saber 11 contempla preguntas que exigen dominar estas reglas de cambio, usualmente presentadas en contextos que involucran coordenadas cartesianas.
Quien maneje de manera segura estas transformaciones resolverá con facilidad las tareas de geometría analítica y podrá demostrar un razonamiento espacial adecuado.
Con la práctica continua, las transformaciones se convierten en herramientas naturales y rápidas de aplicar.
Permite comprender cómo las figuras cambian su posición, su orientación o su tamaño sin alterar esencialmente su forma o proporciones (excepto en casos donde se aplican escalas).
Estas transformaciones son frecuentes en problemas de diferente nivel y se dividen, principalmente, en cuatro categorías:
Traslaciones
Rotaciones
Reflexiones
Homotecias.
Además de ser útiles para analizar propiedades de figuras y su invarianza, estas transformaciones tienen un fuerte componente práctico en la comprensión de la geometría moderna y en aplicaciones computacionales, diseño, entre otros.
Traslaciones
DefiniciónSe desplaza cada punto de una figura una misma distancia en la misma dirección.
Si el desplazamiento es h en el eje x y k en el eje y, entonces un punto (x,y) pasa a (x+h, y+k).
Características
Conservar el tamaño, la forma y la orientación de la figura.
No hay cambio de ángulos ni de longitudes.
Ejemplo
El punto (2,5) trasladado 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba se convierte en (2−3,5+2)=(−1,7).
Rotaciones
DefiniciónGiran todos los puntos de la figura alrededor de un punto fijo, llamado centro de rotación (generalmente el origen), con un determinado ángulo y sentido (horario o antihorario).
En el plano cartesiano, se suele usar el origen (0,0) como centro.
Rotaciones típicas
90° antihorario: (x,y)→(−y,x).
90° horario: (x,y)→(y,−x).
180°: (x,y)→(−x,−y).
Ejemplo
Rotar (3,4) 180° alrededor del origen: (3,4) pasa a (−3,−4).
Reflexiones
DefiniciónReflejan todos los puntos de una figura respecto a una línea dada (eje de reflexión).
Cada punto se ubica en el lado opuesto de la línea, conservando su distancia a la misma.
Reflexiones comunes
Eje X: (x,y)→(x,−y).
Eje Y: (x,y)→(−x,y).
Recta y=x: (x,y)→(y,x).
Recta y=c o x=c: se calcula la distancia del punto a esa recta y se invierte su signo.
Ejemplo
(2,3) reflejado respecto al eje X: (2,3) pasa a (2,−3).
(4,−2) reflejado en x=1: la distancia a la línea x=1 es (4−1)=3.
Al reflejar, el nuevo x será 1−3=−2, y la y se mantiene −2.
Queda (−2,−2).
Homotecias
DefiniciónTransformación de semejanza que modifica el tamaño de la figura manteniendo su forma.
Se define por un centro (un punto fijo C) y un factor de escala k.
Cada punto (x,y) se traslada sobre la línea que une (x,y) con C de modo que su distancia al centro se multiplica por |k|.
El signo de k indica la dirección: si k>0, mantiene la dirección; si k<0, invierte la posición respecto al centro.
Fórmula
Si el centro es (a,b) y el factor es k, entonces un punto (x,y) pasa a (a+k(x−a), b+k(y−b)).
En particular, si el centro es el origen (0,0), la transformación se simplifica a (kx,ky).
Ejemplo
Homotecia con centro en el origen y k=2 sobre (3,−4) da (6,−8).
Con centro (2,2) y k=−1 sobre (6,2) se obtiene (−2,2).
Aplicaciones y consejos prácticos
Dibujar y etiquetar.Es útil hacer un bosquejo en papel, marcando puntos y vectores de desplazamiento para no equivocarse.
Identifica claramente ejes de reflexión, centros de homotecia o ángulos de rotación.
Uso de reglas de transformación.
Memoriza o ten a mano las reglas básicas (por ejemplo, rotaciones de 90°, 180°, reflexiones en ejes, etc.).
Para reflexiones en líneas x=a o y=b, revisa la distancia al eje de simetría y refleja la coordenada que cambia.
Composiciones.
A veces se compone más de una transformación: por ejemplo, una traslación seguida de una reflexión.
Haz los pasos en orden y verifica cada resultado intermedio.
Invariantes.
Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no alteran la forma ni el tamaño de la figura, solo su posición o su orientación.
En cambio, la homotecia altera la escala, pero conserva la forma (sigue siendo semejante).
Ejemplo completo
Problema: Sea el cuadrilátero con vértices A(1,1), B(3,1), C(3,4), D(1,4).Se solicita:
Trasladar 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
Cada vértice (x,y) pasa a (x+2,y+3).
Así, A(1,1) se convierte en (3,4), etc.
Reflejar el resultado en el eje X.
(x,y) pasa a (x,−y).
Si, después de la traslación, un vértice era (3,4), tras la reflexión en X pasa a (3,−4).
Conclusión: revisa la coordenada final de cada punto y observa la nueva figura.
Conclusión
Las transformaciones en el plano (traslaciones, rotaciones, reflexiones y homotecias) conforman un área de la geometría esencial para resolver problemas de ubicación y medición de figuras.Permiten mover una figura, girarla, reflejarla o cambiar su tamaño sistemáticamente.
La Preparación Saber 11 contempla preguntas que exigen dominar estas reglas de cambio, usualmente presentadas en contextos que involucran coordenadas cartesianas.
Quien maneje de manera segura estas transformaciones resolverá con facilidad las tareas de geometría analítica y podrá demostrar un razonamiento espacial adecuado.
Con la práctica continua, las transformaciones se convierten en herramientas naturales y rápidas de aplicar.