Simulacro Saber 11 - Varianza
La varianza mide cuánta dispersión hay alrededor de la media.
Se calcula promediando los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.
Para población usa divisor N; para muestra usa n−1 (corrección de Bessel) para estimar sin sesgo.
Una varianza pequeña indica datos concentrados; una grande señala alta variabilidad.
La desviación estándar es la raíz de la varianza y vuelve a las unidades originales.
Sumar una constante no cambia la varianza; multiplicar por k la multiplica por k².
Ejemplo: datos 2,4,6,8 tienen media 5 y varianza poblacional 5.
Comprender la dispersión mejora análisis de riesgo, control de calidad y evaluaciones académicas.
Refuerza estos cálculos con Simulacro Saber 11 para ganar rapidez en estadística.
Se calcula promediando los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.
Para población usa divisor N; para muestra usa n−1 (corrección de Bessel) para estimar sin sesgo.
Una varianza pequeña indica datos concentrados; una grande señala alta variabilidad.
La desviación estándar es la raíz de la varianza y vuelve a las unidades originales.
Sumar una constante no cambia la varianza; multiplicar por k la multiplica por k².
Ejemplo: datos 2,4,6,8 tienen media 5 y varianza poblacional 5.
Comprender la dispersión mejora análisis de riesgo, control de calidad y evaluaciones académicas.
Refuerza estos cálculos con Simulacro Saber 11 para ganar rapidez en estadística.
En estadística, la varianza es una de las medidas más utilizadas para describir cuán dispersos se encuentran los datos respecto a la media de un conjunto.
Permite cuantificar con un solo valor la variabilidad, lo cual resulta esencial en numerosos análisis.
Entender la varianza y sus propiedades posibilita interpretar mejor la distribución de datos y complementarla con otras medidas, como la media, la mediana y la desviación estándar.
Saber 11 a menudo pregunta por el concepto de varianza y su aplicación.
El ICFES Saber 11 evalúa si los estudiantes pueden distinguir entre varianza muestral y poblacional, así como interpretar valores altos o bajos de varianza en un contexto determinado.
Esto puede presentarse de dos maneras:
Varianza poblacional (σ²)
Cuando se dispone de toda la población de datos, la varianza poblacional se calcula como:
σ² = 1⁄N ∑ᵢ₌₁ᴺ (xᵢ − μ)²,
donde N es el número total de datos en la población, μ es la media poblacional y xᵢ son los valores individuales.
Varianza muestral (s²)
Cuando se trabaja con una muestra, para corregir el sesgo en la estimación se divide entre n − 1 en lugar de n.
Así, la fórmula es:
s² = 1⁄(n − 1) ∑ᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x̄)²,
donde n es el tamaño de la muestra y x̄ es la media muestral.
Una varianza baja indica que los datos están muy concentrados alrededor de la media, mientras que una varianza alta sugiere gran dispersión o valores muy alejados de la media.
Desviación estándar.
La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación estándar.
Aporta la misma unidad de medida que los datos originales, lo cual facilita su interpretación práctica.
Efecto de sumas y escalas.
Si a todos los datos se les suma (o resta) una constante, la varianza no cambia.
Si a todos los datos se les multiplica por una constante k, la varianza se multiplica por k².
Suma todos los datos y divide por la cantidad (población) o la cantidad de datos (muestra) para encontrar μ o x̄.
Desviaciones.
Resta la media de cada valor.
Elevar al cuadrado cada desviación.
Se evitan sumas que den cero por signos positivos / negativos compensados.
Sumar los cuadrados de las desviaciones.
Así obtienes la “suma de cuadrados”.
Dividir por el denominador correspondiente.
Población: divide entre N.
Muestra: divide entre n − 1.
El resultado es la varianza.
Media: (2 + 4 + 6 + 8)⁄4 = 20⁄4 = 5.
Desviaciones: (2 − 5) = −3, (4 − 5) = −1, (6 − 5) = 1, (8 − 5) = 3.
Cuadrados: 9, 1, 1, 9.
Suma: 20.
Varianza poblacional: 20⁄4 = 5.
Varianza muestral: 20⁄(4 − 1) = 20⁄3 ≈ 6.67.
Cuando todos los datos son iguales.
Su varianza es 0.
No hay dispersión.
Cambios por traslación o escala.
Sumar 5 a todos los datos no cambia la varianza.
Multiplicar por 3 provoca que la varianza se multiplique por 3² = 9.
Usas todo el conjunto de valores que componen la población.
Se divide entre N.
Varianza muestral.
Usas los datos de una muestra de la población.
Se divide entre n − 1.
Este ajuste (n − 1) se conoce como corrección de Bessel y corrige el sesgo en la estimación de la varianza poblacional.
Varianza pequeña: datos muy concentrados en torno a la media.
Varianza grande: valores muy separados.
Comparaciones.
Puede comparar dispersión entre dos conjuntos con la misma escala.
Herramienta esencial en pruebas de hipótesis (ANOVA) y en la construcción de intervalos de confianza.
Índice de inestabilidad.
En ámbitos financieros, la varianza mide la volatilidad.
En control de calidad, refleja la consistencia de la producción.
Entre sus propiedades se encuentra la invariancia ante traslaciones, su cambio proporcional al cuadrado de un factor de escala y la distinción entre el cálculo muestral y poblacional.
La Preparación Saber 11 suele verificar que el alumno identifique el significado de varianza y sepa aplicarla, incluso en ejemplos simples.
Conocer cómo se interpreta la varianza, junto con su cálculo y relación con la desviación estándar, es primordial para resolver problemas estadísticos en el Examen Saber 11 y en análisis de datos de cualquier campo.
Una buena base en estos conceptos refuerza la capacidad de tomar decisiones informadas en análisis estadísticos y proyectos de investigación.
Permite cuantificar con un solo valor la variabilidad, lo cual resulta esencial en numerosos análisis.
Entender la varianza y sus propiedades posibilita interpretar mejor la distribución de datos y complementarla con otras medidas, como la media, la mediana y la desviación estándar.
Saber 11 a menudo pregunta por el concepto de varianza y su aplicación.
El ICFES Saber 11 evalúa si los estudiantes pueden distinguir entre varianza muestral y poblacional, así como interpretar valores altos o bajos de varianza en un contexto determinado.
Definición de varianza
La varianza se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media.Esto puede presentarse de dos maneras:
Varianza poblacional (σ²)
Cuando se dispone de toda la población de datos, la varianza poblacional se calcula como:
σ² = 1⁄N ∑ᵢ₌₁ᴺ (xᵢ − μ)²,
donde N es el número total de datos en la población, μ es la media poblacional y xᵢ son los valores individuales.
Varianza muestral (s²)
Cuando se trabaja con una muestra, para corregir el sesgo en la estimación se divide entre n − 1 en lugar de n.
Así, la fórmula es:
s² = 1⁄(n − 1) ∑ᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x̄)²,
donde n es el tamaño de la muestra y x̄ es la media muestral.
Cómo se interpreta la varianza
Medida de dispersión.Una varianza baja indica que los datos están muy concentrados alrededor de la media, mientras que una varianza alta sugiere gran dispersión o valores muy alejados de la media.
Desviación estándar.
La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación estándar.
Aporta la misma unidad de medida que los datos originales, lo cual facilita su interpretación práctica.
Efecto de sumas y escalas.
Si a todos los datos se les suma (o resta) una constante, la varianza no cambia.
Si a todos los datos se les multiplica por una constante k, la varianza se multiplica por k².
Cálculo de la varianza: pasos básicos
Calcular la media.Suma todos los datos y divide por la cantidad (población) o la cantidad de datos (muestra) para encontrar μ o x̄.
Desviaciones.
Resta la media de cada valor.
Elevar al cuadrado cada desviación.
Se evitan sumas que den cero por signos positivos / negativos compensados.
Sumar los cuadrados de las desviaciones.
Así obtienes la “suma de cuadrados”.
Dividir por el denominador correspondiente.
Población: divide entre N.
Muestra: divide entre n − 1.
El resultado es la varianza.
Ejemplos numéricos
Pequeño conjunto: [2, 4, 6, 8].Media: (2 + 4 + 6 + 8)⁄4 = 20⁄4 = 5.
Desviaciones: (2 − 5) = −3, (4 − 5) = −1, (6 − 5) = 1, (8 − 5) = 3.
Cuadrados: 9, 1, 1, 9.
Suma: 20.
Varianza poblacional: 20⁄4 = 5.
Varianza muestral: 20⁄(4 − 1) = 20⁄3 ≈ 6.67.
Cuando todos los datos son iguales.
Su varianza es 0.
No hay dispersión.
Cambios por traslación o escala.
Sumar 5 a todos los datos no cambia la varianza.
Multiplicar por 3 provoca que la varianza se multiplique por 3² = 9.
Diferencia entre varianza poblacional y muestral
Varianza poblacional.Usas todo el conjunto de valores que componen la población.
Se divide entre N.
Varianza muestral.
Usas los datos de una muestra de la población.
Se divide entre n − 1.
Este ajuste (n − 1) se conoce como corrección de Bessel y corrige el sesgo en la estimación de la varianza poblacional.
Interpretación de la varianza y su utilidad
Comprender la dispersión.Varianza pequeña: datos muy concentrados en torno a la media.
Varianza grande: valores muy separados.
Comparaciones.
Puede comparar dispersión entre dos conjuntos con la misma escala.
Herramienta esencial en pruebas de hipótesis (ANOVA) y en la construcción de intervalos de confianza.
Índice de inestabilidad.
En ámbitos financieros, la varianza mide la volatilidad.
En control de calidad, refleja la consistencia de la producción.
Conclusión
La varianza es una medida estadística crucial para evaluar la dispersión de los datos alrededor de su media.Entre sus propiedades se encuentra la invariancia ante traslaciones, su cambio proporcional al cuadrado de un factor de escala y la distinción entre el cálculo muestral y poblacional.
La Preparación Saber 11 suele verificar que el alumno identifique el significado de varianza y sepa aplicarla, incluso en ejemplos simples.
Conocer cómo se interpreta la varianza, junto con su cálculo y relación con la desviación estándar, es primordial para resolver problemas estadísticos en el Examen Saber 11 y en análisis de datos de cualquier campo.
Una buena base en estos conceptos refuerza la capacidad de tomar decisiones informadas en análisis estadísticos y proyectos de investigación.